En todo triángulo rectángulo, la altura de su vértice recto sobre la hipotenusa lo divide en dos triángulos semejantes.

En el ejemplo, la altura h divide al triángulo ABC en dos: ABH y BCH. En ambos el vértice H es rectángulo. En el primero, A es igual al del triángulo original, y en el segundo ocurre lo mismo con C. Por tanto cada triángulo resultante tiene dos ángulos iguales al original.

Sabiendo que la suma de los ángulos de un triángulo es invariable, el tercer ángulo de cada uno (B en el triángulo menor y C en el mayor) debe tener también el mismo valor.

Dos triángulos cuyos ángulos tienen el mismo valor siempre son proporcionales, por tanto ABH y BCH son semejantes (y también ABC, por cierto).

Aplicaciones: media proporcional de dos segmentos

Si tenemos dos segmentos, a y b, un tercer segmento, h, será media proporcional de a y b si a/h = h/c. Es decir, si a es tantas veces más grande o más pequeño que h como h lo es que b.

Como se ve en el dibujo, los dos catetos de cada triángulo (al ser estos semejantes) mantienen entre sí la misma razón. Pero además, al coincidir el cateto mayor de ABH con el cateto menor de BCH, resulta que AH mantiene con BH la misma razón que BH con CH. Por tanto los tres segmentos son proporcionales, siendo BH media proporcional de los otros dos.

Así, si necesitamos hallar la media proporcional de dos longitudes dadas, basta sumarlas y convertir el segmento resultante en hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyo vértice recto se proyecte ortogonalmente sobre la unión de ambos.

Por ejemplo: