Circunferencias tangentes a otras dos dadas, conociendo el punto de tangencia en una de ellas

  1. Sabemos que dos circunferencias tangentes tienen sus centros alineados con los puntos de tangencia, por lo que una recta que pase por C1 y T contendrá a los centros de las buscadas.
  2. También sabemos que las circunferencias dadas y cada una de las soluciones compartirán centro radical, y que este, por definición, tendrá igual potencia con respecto a ellas. Procedemos a buscarlo trazando los ejes radicales de cada dos circunferencias. Una tangente a c1 en T será eje radical de c1 y cada una de las circunferencias buscadas.
  3. Trazamos la recta er2, eje radical de c1 y c2
  4. La intersección de ambos ejes radicales será el centro radical (CR) de las cuatro circunferencias
  5. Si CR tiene igual potencia con respecto a todas las circunferencias, la distancia hasta los puntos de tangencia con ellas debe ser la misma. Trasladamos por tanto la distancia CR-T sobre la circunferencia c2, lo que nos da los puntos T1 y T2
  6. Al unir C2 con T1 obtenemos, en la intersección con r1, el centro de una de las soluciones (C4)
  7. Una semirrecta que pase por C2 y T2 nos dará el centro de la otra solución, en su intersección con r1

Circunferencias tangentes a una recta y una circunferencia, conociendo el punto de tangencia en la circunferencia

  1. Sean la recta r, la circunferencia c y el punto de tangencia T en esta última.
  2. Trazamos la recta f, que pasa por C y T, y contendrá a los centros de las circunferencias buscadas
  3. Dibujamos g, eje radical de las tres circunferencias del ejercicio. Al ser todas ellas tangentes entre sí por el mismo punto, cada punto de g tiene igual potencia con respecto a las tres.
  4. El punto D, intersección de f con g, equidista de los puntos de tangencia en r de las circunferencias buscadas.
  5. Por tanto las rectas h e i, perpendiculates a r por T1 y T2, contendrán a los centros buscados C1 y C2, en las intersecciones con f.
  6. Las circunferencias e y k son las soluciones buscadas.

Circunferencias tangentes a una recta y una circunferencia, conociendo el punto de tangencia en la recta

De manera similar a los casos anteriores, nos apoyamos en el centro radical de las tres circunferencias involucradas en el ejercicio: la dada y las dos soluciones. Al tener este la misma potencia con respecto a las tres, su distancia a los puntos de tangencia será idéntica. Con ayuda de una circunferencia auxiliar, tangente a la recta en T y secante a la circunferencia c, localizamos el centro radical y, a partir de él, hallamos T1 y T2, puntos de tangencia en la circunferencia.