Polar

Llamamos recta polar de un punto (llamado polo) y una circunferencia al lugar geométrico de los puntos conjugados armónicos de otros tres: el polo y los puntos de corte de una secante a la circunferencia trazada desde el mismo.

Es decir: dados un punto P y una circunferencia c, si trazamos una recta secante a c desde P, esta la cortará en dos puntos, A y B. Podemos hallar un punto P’ de manera que (PP’AB) = -1, es decir, de manera que los cuatro puntos conformen una cuaterna armónica.

Pues bien, si trazamos todas las secantes posibles a c desde P, y calculamos en cada una los puntos que conforman en ellas una cuaterna armónica, todos esos puntos estarán alineados en una recta, llamada polar.

Cálculo de la polar, dados una circunferencia y un polo

Halla el polo, conocidos la circunferencia y la polar

Potencia

Eje radical

Llamamos eje radical de dos circunferencias a la recta lugar geométrico de los puntos del plano que tienen igual potencia con respecto a ambas. Si mueves el punto P en el applet que aparece abajo, comprobarás que el valor de su potencia para ambas circunferencias es siempre idéntico.

El eje radical de dos circunferencias siempre es perpendicular a la recta que une sus centros.

Determinación del ER de dos circunferencias secantes

Determinación del ER de dos circunferencias tangentes

En este caso, y sabiendo que el ER de dos circunferencias siempre es perpendicular a la recta que une sus centros, la recta buscada será la perpendicular a dicha recta que pase por el punto de tangencia.

Determinación del ER de dos circunferencias exteriores

Para resolver este problema necesitamos introducir el concepto de centro radical, definido como el punto del plano que tiene igual potencia con respecto a tres circunferencias. Este centro se encontrará en la intersección de los ejes radicales de cada dos de estas circunferencias.

De este modo, para calcular el eje radical de dos circunferencias que no sean secantes ni tangentes bastará trazar otra circunferencia auxilar secante a ambas, obtener su eje radical con respecto a las dos dadas y trazar el eje buscado pasando por el centro radical de las tres.