Llamamos razón doble de cuatro puntos alineados (ABCD) al cociente de las razones simples (ABC) y (BCD).
Podemos expresarlo así:
(ABCD)= AB/AC : BC/BD

Dados los puntos A, B y C, queremos hallar otro D de manera que (ABCD)=2/3

Para resolver estos casos resulta de utilidad emparejar los puntos de dos en dos (AB y CD) y apoyarnos siempre en la pareja de la incógnita para resolverlo por proporcionalidad directa. Así, dados los puntos A, B y C, nos apoyamos en C para hallar D; dados A, B y D nos apoyaríamos en D para calcular C, etc.

Trazado:
  1. Trazamos por C una semirrecta y sobre ella, desde C, las longitudes CM=2 y CN=3
  2. Unimos A con M y B con N. Las rectas trazadas se cortan en un punto.
  3. Por él dibujamos una paralela a CMN, que al cortar a ABC nos da el punto D buscado.

Dados los puntos A, B y D, queremos hallar otro C de manera que (ABCD)=2/3

En este caso nos apoyamos en D, uniendo A y B con N y M, al contrario del ejemplo anterior.

Trazado:
  1. Por D trazamos una semirrecta sobre la que trasladamos las distancias DM y DN.
  2. Unimos A con N y B con M. Las rectas trazadas se cortan en un punto.
  3. Por él dibujamos una recta paralela a DMN que cortará a ABD en el punto C buscado.

Dados los puntos A, C y D, queremos hallar otro B de manera que (ABCD)=-2/3

  1. Trazamos una recta que pasa por A y sobre ella trasladamos las longitudes AM= -2   y AN= 3.
  2. Unimos M con C y N con D. Las rectas se cortaran en un punto.
  3. Por él dibujamos una paralela a MAN, que corta al segmento ACD, que es el punto B buscado.

Dados los puntos B, C y D, queremos hallar otro A de manera que (ABCD)=-2/3

En este caso nos apoyamos en B, uniendo D y C con n y m respectivamente.

    1. Tenemos un segmento BCD. Trazamos por B una recta auxiliar y sobre ella señalamos una distancia m (-2) y n (3).
    2. Unimos D con n y C con m. Se prolonga mC y en el punto de intersección trazamos trazamos una paralela a la recta auxiliar.
        Donde corte con el segmento BCD es el punto A.

Cuaterna armónica

1. Tenemos el segmento ABC y queremos calcular D, desde C trazamos una recta cualquiera.
2. De esa recta tomamos la misma medida en las dos direcciones de la recta, entonces tendriamos el segmento CM y el CN
3. Ahora unimos A con M y B con N, donde se cortan AM y BN hacemos una paralela a MN y nos saldria el punto D